ملخص الحسابيات
nﻣﻠﺨﺺ اﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺎت ﻓﻲ n Z
دروس اﻟﺪﻋﻢ و اﻟﺘﻘﻮﻳﺔ
ﻣﺎ دة اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت
-Iاﻟﻘﺴﻤﺔ اﻹﻗﻠﻴﺪﻳﺔ : Z
∀(a , b ) ∈ Z ∃ !(q, r ) ∈ Z × IN / a = b q + r
ﺑﺤﻴﺚ . 0 ≤ r 〈 b
cﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﺤﺪد اﻟﺰوج ) (q, rﻧﻘﻮل أﻧﻨﺎ أﺟﺮیﻨﺎ أﺟﺮیﻨﺎ
اﻟﻘﺴﻤﺔ اﻹﻗﻠﻴﺪیﺔ ل aﻋﻠﻰ . b
a dیﺴﻤﻰ اﻟﻤﻘﺴﻮم و bاﻟﻤﻘﺴﻮم ﻋﻠﻴﻪ و qاﻟﺨﺎرج و r
اﻟﺒﺎﻗﻲ .
- -IIﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻓﻲ : Z
cﻟﻴﻜﻦ aو bﻓﻲ .Z
a ) ⇔ ∃k ∈ Z / b = kaیﻘﺴﻢ . a / b (b
∀a ∈ Z
:
a /a
d
2
*
n
∀(a , b )∈ Z ∀n ∈ IN : a / b ⇒ a / b e
b a ⇔ a = b fو ∀(a , b )∈ Z 2 : a b
*
2
∀(a , b, c )∈ Z 3 5
d b ⇒ ∀(α, β ) ∈ Z 2 : d αa + βbو d / a
-IIIاﻟﻤﻮاﻓﻘﺔ ﺑﺘﺮدﻳﺪ:
a ≡ b [n ] ⇔ a − b = kn (k ∈ Z) ⇔ n a − b c
d
e
f
5
] a ≡ b [n ] ⇔ ac ≡ bc [n
] a ≡ b [n ] ⇔ a + c ≡ b + c [n
] ⎧a ≡ b [n
] ⇔ ac ≡ bd [n
⎨
] ⎩c ≡ d [n
] ⎧a ≡ b [n
] ⇔ a + c ≡ b + d [n
⎨
] ⎩c ≡ d [n
-IVاﻟﻘﺎﺱﻢ اﻟﻤﺸﺘﺮك اﻷآﺒﺮ:
ﻟﻴﻜﻦ aو bو dﻓﻲ . Z
d cﻗﺎﺱﻢ ﻣﺸﺘﺮك ل aو bیﻌﻨﻲ أن d a :و . d b
dأآﺒﺮ ﻗﺎﺱﻢ ﻣﺸﺘﺮك ﻣﻮﺟﺐ ﻟﻠﻌﺪدیﻦ aو bیﺴﻤﻰ اﻟﻘﺎﺱﻢ
اﻟﻤﺸﺘﺮك اﻷآﺒﺮ ل aو bو یﺮﻣﺰ ﻟﻪ ب :
a ∧ bأو ) pgdc (a , bأو ) ∆(a ; b
dbو d = a ∧b ⇒ da
e
f
5
6
7
8
9
⎧⎪d ' a
⇒ d' a ∧ b
⎨
⎪⎩d ' b
aو bأوﻟﻴﺎن ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ⇔ a ∧ b = 1
⎧∃(a' , b') ∈ Z 2 / a' ∧ b' = 1
⎨ ⇔d =a∧b
' b = d.bو '⎩a = d.a
d = a ∧ b ⇒ ∃(u, v ) ∈ Z 2 / d = ua + vb
(bezout) a ∧ b = 1 ⇔ ua + vb = 1
b cو ⎧a c
⇒ ab c
⎨
⎩a ∧ b = 1
cherifalix@hotmail.com
اﻷﺱﺘﺎذ :ﻋﻠﻲ اﻟﺸﺮﻳﻒ
ﻗﺴﻢ :اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﺎك ﻋﻠﻮم .رﻳﺎﺿﻴﺔ
⎧d / ab
⎨ (Gauss) ∀(a , b, c ) ∈ Z 3 :
⇒ d/bl
⎩d ∧ a = 1
⎧a ∧ b = 1
⇔ a ∧ bc = 1 cc
⎨ ∀(a; b; c ) ∈ Z
⎩a ∧ c = 1
2
∀(n , m ) ∈ IN * : a ∧ b = 1 ⇔ a n ∧ b n = 1 cd
[a = bq + r / 0 ≤ r ≤ b] ⇒ a ∧ b = b ∧ r
ce
-Vاﻟﻤﻀﺎﻏﻒ اﻟﻤﺸﺘﺮك اﻷآﺒﺮ:
ﻟﻴﻜﻦ aو bو mﻣﻦ . Z
m cﻣﻀﺎﻋﻒ ﻣﺸﺘﺮك ل aو a / m ⇔ bو b / m
dأﺻﻐﺮ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻣﺸﺘﺮك ﻣﻮﺟﺐ ﻟﻠﻌﺪدیﻦ aو bیﺴﻤﻰ
اﻟﻤﻀﺎﻋﻒ اﻟﻤﺸﺘﺮك اﻷﺻﻐﺮ ل aو bو یﺮﻣﺰ ﻟﻪ ب :
a ∨ bأو ) ppcm(a; b
b/m eو m = a ∨ b ⇒ a /m
⎧⎪a c
⎨ ∀(a , b, c ) ∈ Z 3 :
⇒ (a ∨ b ) c f
⎪⎩b c
∀(a , b, c ) ∈ Z 2 : (a ∨ b )(a ∧ b ) = a.b 5
-VIاﻷﻋﺪاد اﻷوﻟﻴﺔ:
cﻟﻴﻜﻦ aو dﻓﻲ . Zﻧﻘﻮل إن dﻗﺎﺱﻢ ﻓﻌﻠﻲ ل a
إذا آﺎن dیﻘﺴﻢ aو یﺨﺎﻟﻒ اﻷﻋﺪاد -1 ، 1 ، -a ، a :
dﻧﻘﻮل أن ﻋﺪدا ﺻﺤﻴﺤﺎ ﻧﺴﺒﻴﺎ aأوﻟﻲ إذا آﺎن ﻣﺨﺎﻟﻒ ل
1و -1و ﻟﻴﺲ ﻟﻪ ﻗﻮاﺱﻢ ﻓﻌﻠﻴﺔ .
/ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ :
اﻷ ﻋﺪاد 1 ، -1 ،0 :ﻟﻴﺴﺖ أوﻟﻴﺔ . ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻷوﻟﻴﺔ ﻻ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ .ﻟﻴﻜﻦ pﻋﺪد أوﻟﻲ .
n
pa ⇒ pa
e
f
p bأو p ab ⇒ p a
p a 1 × a 2 ....... × a n ⇒ ∃i ∈ {1,...., n} : p a i 5
6
p∧a = p ⇒ p a
7
p¬ a ⇒ p ∧a =1
-VIIﺥﻮارزﻣﻴﺔ إﻗﻠﻴﺪس:
ﻟﻴﻜﻦ aو bﻓﻲ INﺑﺤﻴﺚ . a 〉 b :
ﻧﻨﺠﺰ اﻟﻘﺴﻤﺔ ل aﻋﻠﻰ : b
a = bq 0 + r0و 0 ≤ r0 ≤ b
*إذا آﺎن r0 = 0 :
ﻓﺈن b a :و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ . a ∧ b = b :
* إذ اآﺎن 0 〈 r0 〈 b :
ﻧﻨﺠﺰ اﻟﻘﺴﻤﺔ اﻹﻗﻠﻴﺪیﺔ ل bﻋﻠﻰ . r0
b = r0 q 1 + r1و . 0 ≤ r1 〈 r0 〈 b
* إذا آﺎن r1 = 0 :
oﻣﻠﺨﺺ اﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺎت ﻓﻲ o Z
دروس اﻟﺪﻋﻢ و اﻟﺘﻘﻮﻳﺔ
ﻣﺎ دة اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت
ﻓﺈن r0 b :و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ . a ∧ b = b ∧ r0 = r0 :
* إذا آﺎن r1 ≠ 0 :
ﻧﻨﺠﺰ اﻟﻘﺴﻤﺔ اﻹﻗﻠﻴﺪیﺔ ل r0ﻋﻠﻰ . r1
r0 = r1q 2 + r2و . 0 ≤ r2 ≤ r1
* ﺑﻌﺪ إﻋﺎدة ﻧﻔﺲ اﻟﻄﺮیﻘﺔ ﻋﺪة ﻣﺮات ﺱﻮف ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ
ﺑﺎق ﻣﻨﻌﺪم و اﻟﻘﺎﺱﻢ اﻟﻤﺸﺘﺮك ل و أﺥﺮ ﺑﺎﻗﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم .
- VIIIﺕﻔﻜﻴﻚ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴﺒﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم إﻟﻰ ﺟﺪاء
ﻋﻮاﻣﻞ أوﻟﻴﺔ :
cآﻞ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴﺒﻲ nﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم ﻣﺨﺎﻟﻒ ل 1و-1
یﻤﻜﻦ أن یﻜﺘﺐ ﺑﻜﻴﻔﻴﺔ وﺡﻴﺪة ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ :
n = ε × p1α1 × p α2 2 × ........ × p αr r
)(ε = ±1
ﺡﻴﺚ p1 :و p 2و .....و p rأﻋﺪاد أوﻟﻴﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ و
ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻣﺜﻨﻰ ،ﻣﺜﻨﻰ .
α 1و α 2و ......و α rأﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻃﺒﻴﻌﻴﺔ ﻏﻴﺮ
ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ .
dإذا آﺎن
αi
n
a = ∏ piو
βi
i =1
n
b = ∏ pi
اﻷﺱﺘﺎذ :ﻋﻠﻲ اﻟﺸﺮﻳﻒ
ﻗﺴﻢ :اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﺎك ﻋﻠﻮم .رﻳﺎﺿﻴﺔ
– Xﻧﻈﻤﺎت اﻟﻌﺪ:
cﻟﻴﻜﻦ xﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﺑﺤﻴﺚ :x ≥2
آﻞ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ bیﻤﻜﻦ أن یﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺵﻜﻞ :
b = a n .x n + a n −1 .x n −1 + .... + a 1 .x + a 0
ﺡﻴﺚ a n ≠ 0و ]∀i ∈ [0 ; n ] : a i ∈ [0 ; n - 1
و ﻧﻜﺘﺐ ﺑﺼﻴﻐﺔ ﻣﺨﺘﺼﺮة :
) (n
) (n
b = a n a n −1 ....a 1a 0
ﻧﻘﻮل أن a n a n −1 ....a 1a 0هﻮ اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺨﺘﺼﺮ ﻟﻠﻌﺪد b
ﻓﻲ ﻧﻈﻤﺔ اﻟﻌﺪ ذات اﻷﺱﺎس . x
dإذا آﺎن و ﻣﻦ ﻣﻤﺜﻠﻴﻦ ﻓﻲ ﻧﻈﻤﺔ اﻟﻌﺪ ب :
) x = a n a n −1 .....a 1a 0 (bو ) y = c m c m −1 .....c1c 0 (b
و آﺎن m 〉 n :ﻓﺈن . y 〉 x :
eإذا آﺎن :
) x = a n a n −1 .....a 1a 0 (bو ) y = c n c n −1 .....c1c 0 (b
و c i +1 = a i +1 ، c n −1 = a n −1 ، c n = a n
و c i ≠ a iﻓﺈن ﺕﺮﺕﻴﺐ xو yهﻮ ﻧﻔﺲ ﺕﺮﺕﻴﺐ a iو c i
i =1
) p iأﻋﺪاد ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ.
و α i ; β i ∈ INو 1 ≤ i; j ≤ nﻓﺈن:
) inf (α i ;βi
n
a ∧ b = ∏ piو
) sup (α i ;β i
i =1
n
a ∨ b = ∏ pi
i =1
- IXاﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ :Z/Nz
∀(a ; b ) ∈ Z 2 : a ≡ b[n ] ⇔ a - b = k.n c
اﻟﻌﻼﻗﺔ "≡" ﻋﻼﻗﺔ ﺕﻜﺎﻓﺆ .
dﺻﻨﻒ ﺕﻜﺎﻓﺆ : (x ∈ Z) x
}] x = {y ∈ Z / y ≡ x [nأو
}x = {x + k.n / k ∈ Z
eﻣﺤﻤﻮﻋﺔ أﺻﻨﺎف اﻟﺘﻜﺎﻓﺆ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ "≡" ﺕﻜﺘﺐ
ﻋﻠﻰ ﺵﻜﻞ Z / nZﺡﻴﺚ Z / nZ = 0 ; 1 ;...; (n - 1) :
}
f
{
) (
∀ x ; y ∈ Z / nZ × Z / nZ :
x + y=x + y ; x×y=x×y
(
)
(Z / nZ ; + ; ×) h
Z / nZ ; + gزﻣﺮة ﺕﺒﺎدﻟﻴﺔ .
ﺡﻠﻘﺔ ﺕﺒﺎدﻟﻴﺔ وواﺡﺪیﺔ وﺕﻜﻮن ﺟﺴﻢ
إذاآﺎن nأوﻟﻲ .
a iﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﻠﺐ ﻓﻲ a ∧ n = 1 ⇔ Z / nZ
)ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﻠﺐ یﻌﻨﻲ( ∃ x ∈ Z / nZ / x × a = a × x = 1 :
یﻘﻮم ﺑﻌﻤﻞ ﻋﻈﻴﻢ ذاك اﻟﺬي ﻻیﺆﺟﻞ ﻋﻤﻞ اﻟﻴﻮم إﻟﻰ اﻟﻐﺪ
cherifalix@hotmail.com
Baltasar Graci 1601-56 Spanish
© Copyright 2026