‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬ ‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬ ‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬ ‫‪26.02.14‬‬ ‫מנהלות‬ ‫מרצה‪:‬‬ ‫אסף רינות־ ‪rinotas@math.biu.ac.il‬‬ ‫מתרגל‪:‬‬ ‫חיים רוזנר־ ‪haim.rosner@gmail.com‬‬ ‫שעות‬ ‫קבלה‪ :‬ימי ג' מ־‪ ,14:00‬בתאום מראש‪ .‬חדר ‪ 107‬בניין מתמטיקה‪.‬‬ ‫אתר הקורס־ ‪settheory.assf rinot.com‬‬ ‫ספר מומלץ‪.Jech − Hrbacek/introduction to set theory :‬‬ ‫תורת הקבוצות‬ ‫תזכורת־‬ ‫)< ‪ (A,‬קבוצה סדורה חלקית )קס"ח( )‪ (Poset‬אם‪:‬‬ ‫‪ < .1‬אנטי־רפלקסיבי )‪ ¬ (a < a‬לכל ‪.a ∈ A‬‬ ‫‪ < .2‬טרנזיטיבי אם )‪ (a < b‬ו־ )‪ (b < c‬אז )‪ (a < c‬לכל ‪.a, b, c ∈ A‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪ (N, <) .1‬כאשר < הוא הסדר הרגיל‪ ,‬ו־ }‪ N = {0,1,2,. . .‬המספרים הטבעיים‪.‬‬ ‫‪(R, <) , (Q, <) , (Z, <) .2‬‬ ‫אמנם ‪ N, Z, Q‬הם מאותו "גודל"‪ ,‬אבל קבוצות סדורות אלה מייצגות סוגים שונים של אינסוף‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬במובן של סדר‪" Z ,‬גדול" מ־ ‪.N‬‬ ‫באותו האופן‪" Q ,‬גדול" מ־ ‪.Z‬‬ ‫המטרה שלנו היא לפתח את המחלקה הנכונה של סדרים‪ ,‬שבה אפשר להשוות למשל סדרים בני־מניה‪.‬‬ ‫‪ .3‬בהינתן קבוצה לא ריקה ‪ (P (X) , $) ,X‬קס"ח‪.‬‬ ‫‪ (N, |) .4‬כאשר ‪ ⇐⇒ n | m‬קיים ‪.m = n · k ,k > 1‬‬ ‫הגדרה ‪ 0.1‬קס"ח )< ‪ (A,‬היא קבוצה סדורה קווית אם לכל ‪ a, b ∈ A‬שונים מתקיים‪ (a < b) :‬או )‪.(b < a‬‬ ‫שימו לב כי לא ייתכן קיום בו־זמנית של שתי האלטרנטיביות‪ ,‬שכן מטרנזיטיביות נהיה חייבים להסיק כי ‪b < b‬‬ ‫בסתירה לאנטי־רפלקסיביות‪.‬‬ ‫‪ .5‬תהי ‪ f : Q ↔ N‬פונקציית שקילות )חד־חד־ערכית ועל(‪.(bijection) .‬‬ ‫לכל ‪ r ∈ R‬נגדיר‬ ‫}‪Ar = {f (q) | Q 3 q < r‬‬ ‫נשים לב כי )‪ ({Ar | r ∈ R} , $‬סדורה קווית‪.‬‬ ‫זוהי תת־קבוצה של )‪ ,P (N‬וכיוון ש־ )‪ (P (N) , $‬קס"ח‪ ,‬גם )‪ ({Ar | r ∈ R} , $‬קס"ח‪.‬‬ ‫נוודא את קריטריון ה"קוויות" )לינאריות(‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נניח ‪ r 6= r‬ממשיים‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫בה"כ‪.r < r ,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫יהי ‪ q ∈ Q‬כך ש־ ‪ ,r < q < r‬אז ‪ q‬מעיד כי ‪,Ar $ Ar0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪1 .{q | q < r} $ q | q < r 0‬‬ ‫שהרי‪,‬‬ ‫‪1‬השתמשנו בידע כי )< ‪ (R,‬סדורה קווית‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬ ‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬ ‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 0.2‬נניח )< ‪ (A,‬קס"ח‪ .‬קבוצה ‪ A ⊇ D‬נקראת "שולטת" )‪ (Dominating/conal‬אם לכל ‪ ,a ∈ A‬קיים‬ ‫‪ d ∈ D‬כך ש־ ‪ a = d‬או ‪.a < d‬‬ ‫למשל־‬ ‫‪ N‬קבוצה שולטת ב־ ‪) R‬מה שנקרא ארכימדיות־ לכל מספר טבעי יש מספר ממשי גדול ממנו(‪.‬‬ ‫}‪) {N‬סינגלטון( קופינלי ב־ )‪) .(P (N) , $‬קופינלי=שולטת(‪.‬‬ ‫אבחנה־‬ ‫אם )< ‪ (A,‬קס"ח‪ ,‬ו־ ‪ m‬איבר אחרון ב־ )< ‪ ,(A,‬אז }‪ {m‬שולטת ב־‬ ‫)< ‪2 .(A,‬‬ ‫הערה ‪ 0.3‬בקבוצה סדורה קווית‪ ,‬אנחנו מקבלים שולטת ⇒⇐ לא חסומה‪.‬‬ ‫בקס"ח כללי‪ ,‬זה לא נכון‪ .‬לדוגמא‪ ,‬סכום זר של )<‪ (N,‬עם )<‪.(N,‬‬ ‫למה ‪0.4‬‬ ‫‪Rasiowa-Sikorski‬‬ ‫אם )< ‪ (A,‬קס"ח‪ ,‬ו־ )‪ (Dn | n ∈ N‬סדרה בת־מנייה של קבוצות שולטות בקס"ח‪ ,‬אז קיימת ‪ A ⊇ G‬הסדורה קווית‬ ‫על־ידי <‪ ,‬ומקיימת ∅ =‪ G ∩ Dn 6‬לכל ‪.n ∈ N‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נבנה סדרה }‪ {gn | n ∈ N‬באינדוקציה )רקורסיה‪ ,‬ליתר דיוק‪ .‬יובהר בהמשך הקורס(‪.‬‬ ‫בסיס האינדוקציה‪:‬‬ ‫יהי ‪ g0 ∈ D0‬כלשהו‪.‬‬ ‫צעד האינדוקציה‪:‬‬ ‫נניח }‪ {gi | i ≤ n‬כבר הוגדרה עבור ‪ n‬טבעי כלשהו‪.‬‬ ‫כיוון ש־ ‪ Dn+1‬שולטת‪ ,‬ניתן למצוא ‪ d ∈ Dn+1‬כך ש־ ‪ gn = d‬או ‪.gn < d‬‬ ‫נקח ‪ gn+1‬להיות ‪.d‬‬ ‫אז קיבלנו סדרה }‪ {gn | n ∈ N‬כך שלכל ‪:n ∈ N‬‬ ‫‪.gn ∈ Dn .1‬‬ ‫‪ gn = gn+1 .2‬או ‪.gn < gn+1‬‬ ‫מטרנזיטיביות של <‪ G ,‬סדורה קווית‪,‬‬ ‫וכמובן ∅ =‪ G ∩ Dn 6‬לכל ‪.n ∈ N‬‬ ‫הגדרה ‪ 0.5‬איבר ‪ a ∈ A‬נקרא איבר ראשון בקס"ח )< ‪ ⇐⇒ (A,‬לכל }‪ b ∈ A\ {a‬מתקיים ‪.a < b‬‬ ‫הגדרה ‪ 0.6‬איבר ‪ a ∈ A‬נקרא איבר אחרון בקס"ח )< ‪ ⇐⇒ (A,‬לכל }‪ b ∈ A\ {a‬מתקיים ‪.b < a‬‬ ‫סדר חלקי על פונקציות‪ :‬נניח ‪ F‬משפחה של פונקציות‪.‬‬ ‫עבור פונקציות ‪ ,f, g ∈ F‬נגדיר יחס‪⇐⇒ f ≺ g :‬‬ ‫‪.dom (f ) $ dom (g) .1‬‬ ‫‪ f (x) = g (x) .2‬לכל ) ‪.x ∈ dom (f‬‬ ‫שימו לב כי )≺ ‪ (F,‬קס"ח‪ .‬אם חושבים על פונקציה כאוסף של זוגות סדורים )כלומר מזהים אותה עם הגרף שלה(‪,‬‬ ‫אז ≺מתלכד עם ⊂‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 0.7‬קס"ח )< ‪ (A,‬נקראת צפופה אם לכל ‪ a < b‬ב־ ‪ A‬קיים ‪ c ∈ A‬כך ש־ ‪.a < c < b‬‬ ‫‪2‬הגדרה של "איבר אחרון" מופיעה בהמשך‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬ ‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬ ‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫‪ (Q, <) .1‬קבוצה סדורה קווית‪ ,‬צפופה‪ ,‬ללא איבר ראשון וללא איבר אחרון‪ ,‬ובת־מניה‪.‬‬ ‫‪ (R, <) .2‬קבוצה סדורה קווית‪ ,‬צפופה‪ ,‬ללא איבר ראשון וללא איבר אחרון‪ ,‬אבל לא בת־מניה‪.‬‬ ‫משפט ‪ 0.8‬משפט קנטור‬ ‫אם )‪ (A, /‬סדורה קווית‪ ,‬צפופה‪ ,‬ללא איבר ראשון וללא איבר אחרון‪ ,‬ובת־מנייה‪ ,‬אז )‪ (A, /‬איזומורפית־סדר ל־‬ ‫)< ‪.(Q,‬‬ ‫כלומר‪ ,‬קיימת ‪ g : Q ↔ A‬חד־חד־ערכית ועל‪ ,‬ולכל ‪.g (a) < g (b) ⇐⇒ a < b :a, b ∈ Q‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ F‬אוסף כל הפונקציות ‪ f : X → Y‬כאשר‪:‬‬ ‫‪ X .1‬תת־קבוצה סופית של ‪.Q‬‬ ‫‪ Y .2‬תת־קבוצה סופית של ‪.A‬‬ ‫‪ f .3‬איזומורפיזם‪ ,‬כלומר ‪ f‬חד־חד־ערכית‪ ,‬על ושומרת סדר‪.‬‬ ‫כזכור‪ (F, ≺) ,‬קס"ח‪.‬‬ ‫טענה ‪:1‬‬ ‫עבור ‪ q ∈ Q‬נסמן‬ ‫}) ‪Dq = {f ∈ F | q ∈ dom (f‬‬ ‫‪ Dq‬שולטת‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫נניח ‪ f : X → Y‬איבר כלשהו ב־ ‪ ,F‬ונבקש למצוא ‪ d ∈ Dq‬כך ש־ ‪ d = f‬או ‪.f < d‬‬ ‫כמובן‪ ,‬שאם ) ‪ ,q ∈ dom (f‬הרי ש־ ‪ f ∈ Dq‬וסיימנו‪.‬‬ ‫∈ ‪.q‬‬ ‫נניח כעת כי ) ‪/ dom (f‬‬ ‫נסתכל על‬ ‫}‪X0 = {x ∈ X | x < q‬‬ ‫}‪X1 = {x ∈ X | q < x‬‬ ‫כיוון ש־ ‪ Q‬סדורה קווית על־ידי היחס <‪ ,‬כך גם תת־הקבוצות הסופיות ‪ X0‬ו־ ‪,X1‬‬ ‫ולכן ניתן להגדיר‬ ‫∅ =‪X0 6‬‬ ‫‪whenever‬‬ ‫) ‪m0 = max (X0‬‬ ‫∅ =‪X1 6‬‬ ‫‪whenever‬‬ ‫) ‪m1 = min (X1‬‬ ‫<‬ ‫<‬ ‫כעת‪ ,‬כיוון ש־ )‪ (A, /‬צפופה‪ ,‬ניתן לבחור ‪ a ∈ A‬כך ש־‬ ‫‪ f (m0 ) / a‬כאשר ∅ =‪ ,x0 6‬ובנוסף ) ‪ a / f (m1‬כאשר ∅ =‪.x1 6‬‬ ‫נגדיר }‪ d : X ∪ {q} → Y ∪ {a‬על־ידי‬ ‫(‬ ‫‪f (p) , p ∈ X‬‬ ‫= )‪d (p‬‬ ‫‪a,‬‬ ‫‪p=q‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬ ‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬ ‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬ ‫הבחירה של ‪ a‬מבטיחה כי הפונקציה ‪ d‬חח"ע‪ ,‬על‪ ,‬שומרת סדר‪,‬‬ ‫אזי ‪ ,d ∈ Dq‬ו־ ‪ .f ≺ d‬מש"ל טענה ‪.1‬‬ ‫טענה ‪:2‬‬ ‫לכל ‪= {d ∈ F | a ∈ Im (d)} ,a ∈ A‬‬ ‫‪Da‬‬ ‫שולטת‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫נימוק דואלי המשתמש בכך ש־ )< ‪ (Q,‬סדר צפוף‪ .‬מש"ל טענה ‪.2‬‬ ‫כיוון ש־ ‪ A, Q‬בנות־מנייה‪ ,‬ניתן להשתמש בלמה של ‪.Rasiowa-Sikorski‬‬ ‫כלומר‪ ,‬קיימת ‪ F ⊇ G‬סדורה קווית על־ידי ≺‪,‬‬ ‫ובנוסף‪:‬‬ ‫∅ =‪ G ∩ Dq 6‬לכל ‪,q ∈ Q‬‬ ‫∅ =‪ G ∩ Da 6‬לכל ‪.a ∈ A‬‬ ‫נגדיר ‪ g : Q → A‬על־ידי‪:‬‬ ‫‪ ⇐⇒ g (q) = a‬קיימת ‪ f ∈ G‬כך ש־ ‪.f (q) = a‬‬ ‫טענה ‪ g :3‬מוגדרת היטב‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫בהנתן ‪ ,q ∈ Q‬כיוון ש־ ∅ =‪ ,G ∩ Dq 6‬נובע כי קיים ‪ f ∈ G‬עם ) ‪.q ∈ dom (f‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כעת‪ ,‬אם ‪ ,f ∈ G‬ו־ ‪ ,q ∈ dom f‬יש להראות כי )‪.f (q) = f (q‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נניח ‪ f, f ∈ G ∩ Dq‬שונות‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫היות ו־ ‪ G‬סדורה קווית‪ ,‬מתקיים בה"כ ש־ ‪.f ≺ f‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ואז‪ ,‬מהגדרת ≺‪ q ∈ dom (f ) $ dom f ,‬ו־ )‪ .f (q) = f (q‬מש"ל טענה ‪.3‬‬ ‫טענה ‪ g :4‬על‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫נובע מכך ש־ ∅ =‪ G ∩ Da 6‬לכל ‪ .a ∈ A‬מש"ל טענה ‪.4‬‬ ‫טענה ‪ g :5‬חד־חד־ערכית‪ ,‬שומרת סדר‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫נניח ‪ q1 < q2‬ב־‪.Q‬‬ ‫יהיו ‪ f1 , f2 ∈ G‬כך ש־ ) ‪.q2 ∈ dom (f2 ) ,q1 ∈ dom (f1‬‬ ‫אם ‪ ,f1 ≺ f2‬הרי ש־ ) ‪ ,q1 , q2 ∈ dom (f2‬ואז‬ ‫) ‪g (q1 ) = f2 (q1 ) / f2 (q2 ) = g (q2‬‬ ‫‪ f2‬שומרת סדר‪ ,‬אז ‪" g‬מקבלת" את זה ממנה‪.‬‬ ‫מקרה שני‪ f2 ≺ f1 ,‬או ‪:f2 = f1‬‬ ‫אז‬ ‫) ‪g (q1 ) = f1 (q1 ) / f1 (q2 ) = g (q2‬‬ ‫‪ f1‬שומרת סדר‪ ,‬אז ‪" g‬מקבלת" את זה ממנה‪.‬‬ ‫תרגיל ‪ :‬שנו את ההוכחה הנ"ל והראו כי לכל קס"ח בן־מניה )‪ (A, C‬קיימת העתקה חח"ע שומרת סדר מ־)‪(A, C‬‬ ‫ל־)< ‪.(Q,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬ ‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬ ‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬ ‫משפט ‪ 0.9‬משפט קנטור )המפורסם(‬ ‫אם ‪ A‬קבוצה בת־מניה של פונקציות מ־ ‪ N‬ל־ }‪ ,{0, 1‬אז קיימת פונקציה }‪ g : N → {0, 1‬כך ש־ ‪ g 6= f‬לכל ‪.f ∈ A‬‬ ‫יתר על כן־ })‪ {n | g (n) 6= f (n‬אינסופית לכל ‪.f ∈ A‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ F‬משפחת כל הפונקציות מהצורה }‪ f : X → {0, 1‬כך ש־ ‪ X ⊆ N‬סופית‪.‬‬ ‫לכל ‪ f ∈ A‬וכל ‪ n ∈ N‬נתבונן בקבוצה השולטת‪:‬‬ ‫})‪D (f, n) = {d ∈ F | ∃k > n : {0, ..., k} = dom (d) , d (k) 6= f (k‬‬ ‫אם ניקח ‪ G ⊆ F‬סדורה קווית לפי ≺‪ ,‬ו־ ∅ =‪ G ∩ D (f, n) 6‬לכל ‪ f ∈ A‬ו־ ‪,n ∈ N‬‬ ‫אז נוכל להגדיר }‪ g : N → {0, 1‬כמו מקודם‪,‬‬ ‫ומתקיים כי })‪ {n | f (n) 6= g (n‬אינסופי לכל ‪.f ∈ A‬‬ ‫הגדרה ‪ 0.10‬קבוצה סדורה קווית )< ‪ (A,‬סדורה היטב ‪ well-ordered‬אם לכל תת־קבוצה לא ריקה של ‪ A‬יש איבר‬ ‫ראשון‪.‬‬ ‫הבחנה‬ ‫אם )< ‪ (A,‬סדורה היטב ו־‪ , A ⊇ B‬אז )< ‪(B,‬סדורה היטב‪.‬‬ ‫הההכלה ההפוכה איננה נכונה‪ (N, <) :‬סדורה היטב‪ ,‬אך )< ‪(Z,‬־ איננו סדר טוב‪.‬‬ ‫הערה ‪ 0.11‬קבוצה סדורה קווית היא סדורה היטב ⇒⇐ איננה מכילה עותק של )‪.Z ∩ (−∞, 0‬‬ ‫המטרה־ למצוא נציגים קנוניים של סדרים טובים‪.‬‬ ‫נציגים של טיפוסי סדר טובים‪.‬‬ ‫מה שבסוף יוביל אותנו למושג שנקרא "סודר"‪.‬‬ ‫קבוצות טרנזיטיביות‬ ‫הגדרה ‪ 0.12‬קבוצה ‪ A‬נקראת טרנזיטיבית אם לכל ‪ x ∈ A‬ולכל ‪ y ∈ x‬מתקיים ‪.y ∈ A‬‬ ‫)‪(y ∈ x ∈ A → y ∈ A‬‬ ‫דוגמא‬ ‫}}∅{ ‪A = {∅,‬‬ ‫זוהי קבוצה עם שני אברים‪ ,‬האיבר הראשון קבוצה ריקה‪ ,‬האיבר השני קבוצה המכילה איבר אחד ־ הוא הקבוצה‬ ‫ריקה‪.‬‬ ‫‪ A‬קבוצה טרנזיטיבית‪ .‬הוכחה‪ :‬נניח ‪x ∈ A‬‬ ‫‪ .1‬אם ∅ = ‪ x‬אז ודאי )באופן ריק( כי לכל ‪ y ∈ x‬מתקיים ‪.y ∈ A‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ ,y ∈ x ,{∅} = x‬אז אכן ‪.y ∈ A‬‬ ‫‪5‬‬ ‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬ ‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬ ‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬ ‫טענה ‪ 0.13‬אם ‪ A‬טרנזיטיבית אז גם }‪ A ∪ {A‬טרנזיטיבית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח }‪ x ∈ A ∪ {A‬ו־ ‪.y ∈ x‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ ,x ∈ A‬אז היות ו־ ‪ A‬טרנזיטיבית‪ ,‬ומתקיים ‪ ,y ∈ x ∈ A‬הרי ש־ }‪.y ∈ A ⊆ A ∪ {A‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ ,x = A‬אז היות ו־ ‪ ,A = x 3 y‬הרי ש־ ‪.A ∪ {A} ⊇ A 3 y‬‬ ‫טענה ‪ A 0.14‬טרנזיטיבית ⇒⇐ לכל ‪.x ⊆ A ,x ∈ A‬‬ ‫טענה ‪ A 0.15‬טרנזיטיבית ⇒⇐ לכל ‪.x ∈ P (A) ,x ∈ A‬‬ ‫טענה ‪ A 0.16‬טרנזיטיבית ⇒⇐ )‪.A ⊆ P (A‬‬ ‫טענה ‪ 0.17‬אם ‪ F‬משפחה של קבוצות טרנזיטיביות‪ ,‬אז }‪F = {x | ∀A ∈ F : x ∈ A‬‬ ‫‪T‬‬ ‫טרנזיטיבית‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ ,x ∈ F‬ונניח ‪.y ∈ x‬‬ ‫‪T‬‬ ‫נבקש להראות כי ‪. F 3 y‬‬ ‫לשם כך‪ ,‬נקבע ‪ A ∈ F‬שרירותית‪ ,‬ונבקש להראות כי ‪.y ∈ A‬‬ ‫‪T‬‬ ‫כיוון ש־ ‪,x ∈ A ,x ∈ F‬‬ ‫כיוון ש־ ‪ A‬טרנזיטיבית ‪ ,y ∈ A‬כמבוקש‪.‬‬ ‫טענה ‪ 0.18‬אם ‪ F‬משפחה של קבוצות טרנזיטיביות‪ ,‬אז }‪F = {x | ∃A ∈ F : x ∈ A‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח ‪F‬‬ ‫‪S‬‬ ‫∈ ‪ x‬ו־ ‪.y ∈ x‬‬ ‫יהי ‪ A ∈ F‬כך ש־ ‪.x ∈ A‬‬ ‫היות ו־ ‪ A‬טרנזיטיבית‪ ,‬מתקיים ‪ ,y ∈ A‬ואז ‪F‬‬ ‫‪S‬‬ ‫∈ ‪.y‬‬ ‫‪S‬‬ ‫טענה ‪ A 0.19‬טרנזיטיבית ⇒⇐ ‪. A ⊆ A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪S‬‬ ‫טרנזיטיבית‪.‬‬